TEMA: Sólidos de revolución.
El sólido de revolución es un cuerpo geométrico también llamado
cuerpo de revolución que se puede formar haciendo girar una superficie plana en
torno a una recta a la que se denomina eje.
Un sólido de revolución
es, desde otra perspectiva, una figura tridimensional que se caracteriza porque
su superficie no es plana, sino que es curva.
Cabe señalar que los sólidos de revolución pueden tomar
distintas formas, incluso irregulares, como la que vemos en la imagen.
Otro punto a tener en cuenta es que la superficie plana que
gira para formar el sólido puede, o no, cruzarse con el eje de revolución, como
en el caso de la figura llamada toroide, que
veremos más adelante.
Desde el punto de vista matemático, si tenemos dos funciones,
obtendremos un sólido de revolución si hacemos girar la región plana contenida
entre dichas funciones alrededor de una recta dada, que sería el eje de
revolución.
Conviene señalar, además, que el eje de revolución puede ser
no solo una recta, sino también el Eje X o el Eje Y del plano cartesiano.
Cuerpos de revolución. Cuando una figura plana gira alrededor de un eje se obtiene un
cuerpo de revolución. Los tres cuerpos de revolución más importantes son
el cilindro, el cono y
la esfera.
La observación de la naturaleza nos muestra la existencia de variadas
formas en los cuerpos materiales que la componen y nos proporciona la idea
de volumen, superficie, línea, y punto.
Por necesidades prácticas, el desarrollo de técnicas usadas para medir,
construir o desplazarse, llevaron al hombre a hacer uso de las diversas
propiedades de las figuras geométricas y, en muchos casos a formar “cuerpos” a
partir de estas.
Principales sólidos de revolución
Los
principales sólidos de revolución son los siguientes:
- Cono: El cono es un sólido
de revolución que se genera al hacer girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de
sus catetos.
- Cilindro: El
cilindro se define como aquel sólido que se forma al hacer girar un
rectángulo alrededor de un eje.
- Esfera: La
esfera es un sólido que se obtiene al hacer girar una semicircunferencia
en torno a un eje.
Toroide: Es
el sólido que se forma a partir de hacer girar un polígono o una curva
alrededor de eje, dejando en el centro un espacio hueco o vacío, como
vemos en la figura de abajo. Cuando la curva que gira es cerrada, la
figura se denomina toro, como vemos en la imagen inferior.
La Geometría es una de las más antiguas ciencias. Inicialmente, constituía un cuerpo de conocimientos prácticos
en relación con las longitudes, áreas y volúmenes. En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los
textos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo.
Una vez adquiridas estas nociones y prescindiendo de su origen
práctico, la Geometría (medición de la Tierra), de ser un conjunto de técnicas, pasó a
constituir una disciplina matemática formal, donde la figura geométrica es un
ente abstracto y sus propiedades el objeto de estudio de la Geometría.
Cilindro
Definición y
elementos
El cilindro es el cuerpo que se obtiene a partir de un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados.
Cálculo del área
Si se desarrolla la superficie lateral del cilindro de
radio r y de altura h, se obtiene una superficie
plana que es un rectángulo.
El largo del rectángulo es igual a la longitud de las circunferencias que
limitan las bases ( L= 2πr ) y su altura es igual a la
altura del cilindro.
Por tanto el área lateral (AL) del cilindro es igual al área del
rectángulo ABCD obtenido.
El área total (AT) del cilindro es igual a la suma del área
lateral y las de sus dos bases.
Sustituyendo
Se obtiene:
Y es de esta forma que se puede hallar el área del cilindro.
Cálculo del volumen
El volumen de un prisma es igual al producto del área de la base
por la altura:
Esta misma fórmula es la que se utiliza para calcular el volumen
de un cilindro.
Cono
Definición y
elementos
El cono es el cuerpo obtenido de un triángulo rectángulo que gira alrededor de uno de sus
catetos.
Área del cono
Si se desarrolla la superficie lateral del cono de radio r,
generatriz g y altura h, se obtiene
una superficie plana que es un sector circular de radio g,
determinado por un arco b cuya longitud es igual a la longitud de la circunferencia de la base: b = 2πr.
Por tanto:
El área lateral del cono es igual al área del sector circular
así obtenido. El área del sector circular se calcula utilizando la proporción
siguiente:
Sustituyendo en (1)
El área total del cono circular recto es igual a la suma del
área lateral y el área de
su base.
Cálculo de su volumen
La relación que existe entre los volúmenes de un prisma y el de
una pirámide que tengan iguales las bases y la altura, es la misma que existe
entre los volúmenes de un cilindro y un cono que cumplan estas mismas
condiciones.
O sea: el volumen de un cono de radio r y
altura h es igual a la tercera parte del volumen del
cilindro de igual radio y altura.
Esfera
Definición y
elementos
La esfera es el cuerpo que se obtiene a partir de un semicírculo
que gira alrededor de su diámetro.
Cálculo del área de
una esfera
El área de una esfera de radio r es el
área de la superficie curva que la limita:
Volumen de la esfera
El volumen de una esfera de radio r es:
Se puede comprobar experimentalmente que el volumen de un cono de radio r y la altura h con h
= 2r, es igual a la mitad del volumen de la esfera del mismo radio.
Fórmula
Conociendo el Valor de la base y la altura
Si conoces el valor de la base y
la altura puedes calcular el volumen:
V=13⋅B⋅h
Donde:
v=volumenv=volumen
d=diámetrod=diámetro
h=altura
Formula
Conociendo el Radio y la Altura.
Si conoces el valor del radio y
la altura del cono, puedes calcular su volumen usando la siguiente formula:
V=13⋅r2⋅h
Donde:
V=volumen
r=valor del radio
h=valor de la altura
Definición
de Cilindro
Es una figura geométrica de base
redonda y una pared plana asentada en la orilla de su base, sus paredes son
planas, se puede decir que tiene dos bases ya que la parte superior y la parte
inferior tienen el mismo diámetro.
Definición
de Volumen
Es el espacio que ocupa un objeto
en el espacio, está delimitado por las paredes del objeto, los volúmenes pueden
ser de figuras regulares o irregulares.
¿Qué es
una Fórmula?
Es la representación por medio de
letras, de una regla o de un principio general.
(Álgebra, A. Baldor)
Fórmulas de figuras.
Fuente o Páginas web:
Sólidos
de revolución - Matemáticas Tercero de Secundaria - NTE.mx recursos educativos
en línea
Sólido
de revolución - Qué es, definición y concepto | Economipedia
Fórmulas
del volumen de las figuras geométricas (onlinemschool.com)
Cuerpos
de revolución - EcuRed
Libro de texto de Matemática, 8vo grado. Editorial
Pueblo y Educación, 1990.
